¿Qué son los Reticulados?
Reticulados
Conjuntos Parcialmente Ordenados
Como ya se hizo alusión arriba, un orden es una relación binaria especial. Por lo tanto consideremos algún conjunto P y una relación binaria ≤ en P. Entonces ≤ es un orden parcial si es reflexiva, antisimétrica, y transitiva, es decir, para todo a, b y c en P, tenemos que:
- a ≤ a (reflexividad)
- si a ≤ b y b ≤ c entonces a ≤ c (transitividad)
- si a ≤ b y b ≤ a entonces a = b, (antisimetría).
Un conjunto con un orden parcial se llama conjunto parcialmente ordenado, o, en breve, poset (del inglés partially ordered set). El término conjunto ordenado a veces también se utiliza para los posets, mientras esté claro del contexto que no se quiere significar ninguna otra clase de órdenes. Comprobando esta propiedad, se ve inmediatamente que los bien conocidos órdenes de los naturales, enteros, racionales y reales son todos órdenes en el antedicho sentido. Sin embargo, tienen la propiedad adicional de ser total, es decir, para todo a, b en X.
- a ≤ b o b ≤ a (totalidad)
Este orden también se puede llamar orden lineal o cadena. Mientras que muchos órdenes clásicos son lineales, el orden entre subconjuntos de un conjunto proporciona un ejemplo donde éste no es el caso. De hecho, muchas propiedades avanzadas de los posets son interesantes principalmente para un orden no lineal.
Propiedades de los Reticulados
Un retículo se dice acotado si tiene un elemento mayor y un elemento menor. El elemento más grande es denotado a menudo por 1 y el menor por 0. Si x es un elemento de un retículo acotado entonces cualquier elemento y del retículo que satisface x V y = 0 y x V y = 1 se llama un complemento de x. Un retículo acotado en el cual cada elemento tiene un complemento (no necesariamente único) se llama un retículo complementado.
Un retículo en el cual cada subconjunto (incluyendo los infinitos) tiene tanto un supremo como un ínfimo se llama un retículo completo. Los retículos completos siempre son acotados. Muchos de los retículos más importantes son completos. Los ejemplos incluyen:
- Los subconjuntos de un conjunto dado, ordenados por inclusión. El supremo está dado por la unión y el ínfimo por la intersección de subconjuntos.
- El intervalo unidad [0, 1] y la recta extendida de números reales, con el orden total familiar y los usuales supremo e ínfimo.
- Los enteros no negativos, ordenados por divisibilidad. El supremo viene dado por el mínimo común múltiplo y el ínfimo por el máximo común divisor.
- Los subgrupos de un grupo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por el subgrupo generado por la unión de los grupos y el ínfimo viene dado por la intersección.
- Los submódulos de un módulo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por de la suma de submódulos y el ínfimo por la intersección.
Los ideales de un anillo, ordenado por la inclusión. El supremo viene dado por la suma de ideales y el ínfimo por la intersección.- Los conjuntos abiertos de un espacio topológico, ordenados por la inclusión. El supremo viene dado por la unión de conjuntos abiertos y el ínfimo por el interior de la intersección.
- los subconjuntos convexos de un espacio vectorial real o complejo, ordenado por la inclusión. El ínfimo viene dado por la intersección de conjuntos convexos y el supremo por la clausura convexa de la unión.
- Las topologías en un conjunto, ordenadas por la inclusión. El ínfimo viene dado por la intersección de topologías, y el supremo por la topología generada por la unión de las topologías.
- El retículo de todas las relaciones binarias transitivas en un conjunto.
- El retículo de todas las relaciones de equivalencia en un conjunto; la relación de equivalencia ~ se considera ser más pequeño (o "más fino") que ≈ si x~y implica siempre x≈y.
Recuerda:
En matemática, un retículo es una estructura, que puede definirse mediante teoría de conjuntos y mediante álgebra.
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