Función-Polinomio Boleeano y su Simplificación

Función Booleana

     En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas por los valores binarios 0 o 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo codominio son ambos valores 0 y 1. Formalmente, son las funciones de la forma ƒ: Bⁿ → B, donde B = {0,1} y n un entero no negativo correspondiente a la aridad de la función.

Modos de Representación

     Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

• Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

1. F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C
2. F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’
3. F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)
4. F = BC’ + AB’
5. F = (A + B)(B’ + C’)
6. F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’
7. F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

     La expresión 1., puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas 2. y 3., reciben el nombre expresiones canónicas: de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la 2., y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la 3.; su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos.

• Por Tabla de Verdad

     Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n. Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero solo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior. La forma más cómoda para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos (o forma canónica disyuntiva)

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combinaciones 0. Con la función canónica de producto de sumas (o forma canónica conjuntiva) se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos. También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

• Numérica

     La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación.

 

• 
  Gráfica

    La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos.

 

El uso de una u otra dependerá de cada caso.

Simplificación de las Funciones Booleanas

     Al usar los teoremas y leyes booleanas, podemos simplificar las expresiones booleanas, mediante las cuales podemos reducir el número requerido de compuertas lógicas a implementar. Podemos simplificar la función Booleano utilizando dos métodos:

• El método algebraico: mediante el uso de identidades (leyes booleanas).
• El método gráfico: utilizando el método del Mapa de Karnaugh.

Ejemplo: Se va a simplificar la siguiente expresión aplicando las leyes e identidades booleanas mencionadas:

E = (X ∙ Y ∙ Z) + (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Es posible aplicar la ley asociativa y la ley fundamental de que A ∙ 1 = A:

E = X ∙ (Y ∙ Z) + 1 ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Ahora es posible factorizar el termino (Y ∙ Z):

E = (X + 1) ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Dado que A + 1 = 1 según las leyes fundamentales por lo tanto X + 1 = 1:

E = 1 ∙ (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Al realizar la operación tendremos ya simplificada la expresión:

E = (Y ∙ Z) + (X ∙ Y)

Aún podemos simplificar la expresión al factorizar Y:

E = Y ∙ (Z + X)

Polinomio Boleeano

     Diremos que un polinomio booleano es una proposición compuesta donde el valor de verdad de las proposiciones componentes es variable. 

     Sea x₁ , x₂,... ,x_n un conjunto de n símbolos o variables. Un polinomio booleano p(x₁ , x₂,... ,x_n) en las variables x_k se define de manera recursiva como sigue:

• x₁ ,x₂,... ,x_n son todos polinomios booleanos.
• Los símbolos 0 y 1 son polinomios booleanos.
• Si p(x₁ , x₂, …, x_n) y q(x₁, x₂, …, x_n) son dos polinomios booleanos, entonces también lo son.

No existen polinomios booleanos en las variables xk distintos de los que pueden ser obtenidos aplicando las reglas 1, 2, 3 y 4. Los polinomios booleanos también reciben el nombre de expresiones booleanas.

Astrid C. Ceballos Pérez // ESD432 // SAIA-A