Matemática Discreta

Historia del Álgebra de Boole      El álgebra de Boole se inventó en el año de 1854, por el matemático inglés autodidacta, George Boole. Primero la define como parte de un sistema lógico, en un pequeño folleto llamado, The Mathematical Analysis of Logic, publicado en 1847, en respuesta a una controversia en curso entre Augustus De Morgan y sir William Rowan Hamilton. Posteriormente, en 1854, declaró la idea del álgebra de Boole en su libro "Una investigación de las leyes del pensamiento". Después de esto, el álgebra de Boole es bien conocida como la forma perfecta para representar los circuitos lógicos digitales, por lo que se afirma que el álgebra de Boole fue un intento de utilizar las técnicas algebraicas para tratar expresiones de la lógica proposicional.  "Las interpretaciones respectivas de los símbolos 0 y 1 en el sistema de lógica son Nada y Universo". George Boole       A fines del siglo XIX, los científicos Jevons, Schroder y Huntington utili...

Función Booleana      En matemáticas, una función booleana es una función cuyo dominio son las palabras conformadas por los valores binarios 0 o 1 ("falso" o "verdadero", respectivamente), y cuyo codominio son ambos valores 0 y 1. Formalmente, son las funciones de la forma ƒ:  B n  →  B , donde B = {0,1} y n un entero no negativo correspondiente a la aridad de la función. Modos de Representación      Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes: Algebraica Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables. F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’ F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’) F = BC’ + AB’ F = (A + B)(B’ + C’) F = [(BC’)’(CB)´ (AB’)’]’ F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’      La expresión...

¿Qué son las Compuertas Lógicas?      Las compuertas lógicas son uno de los componentes principales dentro de la electrónica digital, y esto se debe a que se caracterizan por representar un valor de verdadero o uno de falso en su salida. A pesar de que solo representan dos valores, estos dispositivos son capaces de realizar diferentes operaciones lógicas, como; multiplicar, sumar, negar, afirmar, incluir o excluir. Todo depende de que tipo de compuerta se este utilizando. Tablas de verdad de las Compuerta Lógicas      Las tablas de verdad son una herramienta que se utiliza para conocer previamente el comportamiento de una compuerta lógica, en palabras sencillas, estas tablas representan todas las combinaciones  que pueden tener los circuitos en sus entradas y el valor que toma la salida en cada caso. Tipos de Compuertas Lógicas      Dentro de los tipos de compuertas podemos encontrar diferentes tipos, y cada una representa una ...

  ¿Qué es el Álgebra Booleana?      El Álgebra Booleana o también conocida como Álgebra de Boole, es un sistema matemático que se utiliza para representar cualquier circuito lógico en forma de ecuaciones algebraicas, es decir, es una herramienta que nos ayuda a resolver y a simplificar cualquier tipo de problema que se nos presente dentro de los sistemas digitales.      Por ejemplo, tenemos que crear un sistema en el cual un foco encienda a través de dos interruptores, ya sea que esté activado cualquiera de los interruptores, pero no pueden estar activados los dos al mismo tiempo. Para llegar a la solución, primero hacemos una tabla con todas las posibles combinaciones de los interruptores y en cual de estas se enciende el foco, una vez identificado el o los estados en los cuales enciende, se toman las variables y se crea la ecuación tomando en cuenta que los 0 son iguales a la variable negada (A’) y los 1 son la variable normal (A). Para poder traduci...

En matemáticas y ciencias de la computación, un grafo es un conjunto de objetos llamados vértices o nodos unidos por enlaces llamados aristas o arcos, que permiten representar relaciones binarias entre elementos de un conjunto. Son objeto de estudio de la teoría de grafos. Típicamente, un grafo se representa gráficamente como un conjunto de puntos (vértices o nodos) unidos por líneas (aristas o arcos). Desde un punto de vista práctico, los grafos permiten estudiar las interrelaciones entre unidades que interactúan unas con otras. Por ejemplo, una red de computadoras puede representarse y estudiarse mediante un grafo, en el cual los vértices representan terminales y las aristas representan conexiones (las cuales, a su vez, pueden ser cables o conexiones inalámbricas). Prácticamente cualquier problema puede representarse mediante un grafo, y su estudio trasciende a las diversas áreas de las ciencias exactas y las ciencias sociales. Definición: Un Grafo G es una terna [V, A, g] fo...

¿Qué es una maquina de estado finito?      Una máquina de estado finito es una máquina abstracta que reconoce cadenas de caracteres dando una respuesta de “SÍ” o “NO” basada en las transiciones entre “estados” de la máquina, las transiciones se escogen en base al siguiente carácter de la cadena. También se puede decir que un autómata finito (AF) o máquina de estado finito es un modelo computacional que realiza cómputos en forma automática sobre una entrada para producir una salida. ¿Cómo funciona? la maquina de estado finito funciona abstrayendo computacionalmente el comportamiento descrito de un sistema reactivo mediante un número determinado de  Estados  y un número determinado de Transiciones entre dicho  Estados . Diagrama de Estado Finito: Un Diagrama de Estado Finito es un gráfico que representa los diferentes estados de una MEF y todas las transiciones posibles entre los estados. Como ejemplo, consideremos un muy simplificado sistema de contro...

CODIFICACIÓN DE INFORMACIÓN BINARIA     La codificación binaria se asocia frecuentemente al uso de las computadoras, ya que internamente trabajan utilizando combinaciones de ceros y unos respectivamente para el procesamiento de la información. Cabe destacar que cualquier código que utilice solo dos símbolos para representar información, se considera una codificación binaria.     Un claro ejemplo de esto es el código Braille, que mediante relieves elevados y no elevados permiten a los ciegos captar información, el código Morse, que emplea señales prolongadas y cortas, y el código binario de números que representa caracteres o estados eléctricos utilizando ceros y unos (encendido y apagado respectivamente), el cual trataremos en este espacio. SISTEMA DE NUMERACIÓN BINARIO      De lo anteriormente presentado, podemos concluir que un sistema de numeración es un conjunto de reglas y símbolos que permiten representar datos de forma num...